2023必修五全国100所名校单元测试示范卷数学卷答案

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5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-a）²+y²=a²截得的弦长为$\sqrt{2}$a．则双曲线C的离心率为（　　）

试题答案

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（x-a）²+y²=a²截得的弦长为$\sqrt{2}$a，可得$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵渐近线被圆（x-a）²+y²=a²截得的弦长为$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴c²=2b²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．