2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学理科·全国人教八

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19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B是圆C：（x-2）²+y²=4上的点，点M为AB的中点，若直线$l：y=kx-\sqrt{5}k$上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为[-2，2]．试题答案

分析 先求出M的轨迹方程，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=2，利用圆上存在点点P，使得∠OPM=30°，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{5}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，进而得出答案．

解答 解：设M（x，y），则B（2x+2，2y），代入圆C：（x-2）²+y²=4，可得（2x+2-2）²+（2y）²=4，
即x²+y²=1
由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=2．
∵圆上存在点点P，使得∠OPM=30°，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{5}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，
∴-2≤k≤2，
故答案为：[-2，2]．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．