2023100所名校单元测试示范卷数学高三16

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9．设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则$\frac{z}{xy}$的最小值为1．试题答案

分析 根据条件x²-3xy+4y²-z=0分离出z=x²-3xy+4y²并代入$\frac{z}{xy}$，再裂项，最后运用基本不等式求其最小值．

解答 解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又因为x，y，z为正实数，
因此，$\frac{z}{xy}$=$\frac{x^2-3xy+4y^2}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3，
根据基本不等式，$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$=4，当且仅当x=2y时，取“=”，
所以，$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3∈[1，+∞），
所以，$\frac{z}{xy}$的最小值为1，
故填：1．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，涉及到整体代换，裂项等运算技巧，属于中档题．