2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学理科·全国人教N卷

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12．计算题
（1）求值：${27^{\frac{2}{3}}}-{（{\root{3}{-125}}）^2}-{2^{{{log}_2}3}}×{log_2}\frac{1}{8}+{log_2}3×{log_3}4$
（2）求不等式的解集：①3^3-x＜2；②${log_5}（{x-1}）＜\frac{1}{2}$．试题答案

分析 （1）直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简得答案；
（2）①由指数函数的性质化指数不等式为一元一次不等式求解；
②由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式求解．

解答 解：（1）${27^{\frac{2}{3}}}-{（{\root{3}{-125}}）^2}-{2^{{{log}_2}3}}×{log_2}\frac{1}{8}+{log_2}3×{log_3}4$
=${（{3^3}）^{\frac{2}{3}}}-{（{-5}）^2}-3×{log_2}{2^{-3}}+\frac{lg3}{lg2}×\frac{2lg2}{lg3}$
=9-25-3×（-3）+2
=-5；
（2）①由3^3-x＜2，得${3^{3-x}}＜{3^{{{log}_3}2}}$，
∴3-x＜log₃2，则x＞3-log₃2，
∴不等式3^3-x＜2的解集为（3-log₃2，+∞）；
②由${log_5}（{x-1}）＜\frac{1}{2}$，得${log_5}（{x-1}）＜{log_5}\sqrt{5}$，
∴$0＜x-1＜\sqrt{5}$，则$1＜x＜\sqrt{5}+1$，
∴不等式${log_5}（{x-1}）＜\frac{1}{2}$的解集为$（{1，\sqrt{5}+1}）$．

点评 本题考查有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，考查了指数不等式和对数不等式的解法，是基础题．