2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学卷十一

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18．已知点P在曲线y=x²+1上，若曲线y=x²+1在点P处的切线与曲线y=-2x²-1相切，求点P的坐标．试题答案

分析 先设P（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₀处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出方程，根据此直线与曲线y=-2x²-1相切，转化成方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0只有一解，然后利用判别式为0，进行求解即可．

解答 解：设P（x₀，y₀），y=x²+1的导数为y′=2x，
由题意知曲线y=x²+1在P点的切线斜率为k=2x₀，
则切线方程为y=2x₀x+1-x₀²，
而此直线与曲线y=-2x²-1相切，
∴切线与曲线只有一个交点，
即方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0的判别式△=4x₀²-2×4×（2-x₀²）=0．
解得x₀=±$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，y₀=$\frac{7}{3}$．
∴P点的坐标为（$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，$\frac{7}{3}$）或（-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，$\frac{7}{3}$）．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及直线与二次函数相切的条件，属于中档题．