2023全国100所名校单元测试示范卷数学23

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1．已知A（4，-3），B（2，-1）和直线l：4x+3y-2=0．
（1）求一点P使|PA|=|PB|，且点P到l的距离等于2；
（2）在直线l上找一点M，使得点M到A（4，-3），B（2，-1）距离之和最小．试题答案

分析 （1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式列出方程组，由此能求出P点坐标．
（2）求出B（2，-1）关于直线l：4x+3y-2=0的对称点为B′（a，b），点M到A（4，-3），B（2，-1）距离之和最小值为|AB′|．

解答 解：（1）设P（x，y），
∵A（4，-3），B（2，-1），直线l：4x+3y-2=0．
|PA|=|PB|，且点P到l的距离等于2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-4）^{2}+（y+3）^{2}}=\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}}\\{\frac{|4x+3y-2|}{\sqrt{16+9}}=2}\end{array}\right.$，
整理，得$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-5=0}\\{4x+3y-12=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-5=0}\\{4x+3y+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=31}\\{y=-44}\end{array}\right.$．
∴P（-9，16）或P（31，-44）．
（2）∵A（4，-3），B（2，-1），直线l：4x+3y-2=0，
设B（2，-1）关于直线l：4x+3y-2=0的对称点为B′（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{4×\frac{a+2}{2}+3×\frac{b-1}{2}-2=0}\\{\frac{b+1}{a-2}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{26}{25}$，b=-$\frac{43}{25}$，
∴点M到A（4，-3），B（2，-1）距离之和最小值为：
|AB′|=$\sqrt{（4-\frac{26}{25}）^{2}+（-3+\frac{43}{25}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{65}}{5}$．

点评 本题考查满足条件的点的坐标的求法，考查距离之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．