2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷八答案

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6．已知函数f（x）为y=3^x，x∈[0，2]的反函数，g（x）=[f（x）]²+f（x²），若g（x）≤k恒成立，求实数k的取值范围．（注意反函数f（x）的定义域与g（x）的定义域）试题答案

分析 根据条件得到f（x）=log₃x，x∈[1，9]，进而求得g（x）=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x+1）²-1，再求最大值即可．

解答 解：因为f（x）是y=3^x，x∈[0，2]的反函数，
所以，f（x）=log₃x，x∈[1，9]，
g（x）=[f（x）]²+f（x²）=log₃²x+2log₃x=（log₃x+1）²-1，
又∵f（x）的定义域为[1，9]，
∴g（x）的自变量需满足$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤9}\\{1≤x^2≤9}\end{array}\right.$，解得x∈[1，3]，
因此，log₃x∈[0，1]，
故g（x）_min=g（1）=0，g（x）_max=g（3）=3，
要使g（x）≤k恒成立，则k≥g（x）_max=3．
所以，实数m的取值范围为[3，+∞）．

点评 本题主要考查了反函数和复合函数定义域的解法，二次函数最值，属于中档题．