2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学五

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2、2023全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十)

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16．已知点A（2，4）在幂函数y=f（x）的图象上，也在函数g（x）=f（x）+$\frac{a}{{x}^{3}}$-1
（1）求函数g（x）的图象在点A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数h（x）=mf（x）-g（x）-1nx在[1，5]上单调递增，求实数m的值．试题答案

分析 （1）利用已知条件求出幂函数的解析式，然后求出g（x）的解析式．求出函数的导数，然后求解切线方程，求解面积．
（2）利用函数的单调性，导函数恒为非负，通过函数的导数，求解函数的最值，然后求解m的范围．

解答 解：（1）点A（2，4）在幂函数y=f（x）=x^α的图象上，可得4=2^α，α=2，f（x）=x²；
点A（2，4）在函数g（x）=f（x）+$\frac{a}{{x}^{3}}$-1上，可得4=4+$\frac{a}{8}$-1，解得a=8．
函数g（x）=x²+$\frac{8}{{x}^{3}}$-1．
可得g′（x）=2x-$\frac{24}{{x}^{4}}$，
又g′（2）=4-$\frac{24}{{2}^{4}}$=$\frac{5}{2}$，
∴函数g（x）的图象在点A处的切线的斜率为：$\frac{5}{2}$，切线方程为：y-4=$\frac{5}{2}$（x-2），即5x-2y-2=0．
切线与坐标轴的交点为：（$\frac{2}{5}，0$），（0，-1）．
∴切线与坐标轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×1$=$\frac{1}{5}$．
（2）函数h（x）=mf（x）-g（x）-1nx=mx²-x²-$\frac{8}{{x}^{3}}$+1-lnx．
h′（x）=2mx-2x+$\frac{24}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{x}$，
函数h（x）=mf（x）-g（x）-1nx在[1，5]上单调递增，
可得2mx-2x+$\frac{24}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{x}$≥0在[1，5]上恒成立．
即m≥1-$\frac{12}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，5]上恒成立．令s（x）=1-$\frac{12}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
可得s′（x）=$\frac{60}{{x}^{6}}$$-\frac{1}{{x}^{3}}$，令t=$\frac{1}{{x}^{3}}$∈[$\frac{1}{125}$，1]．
函数化为：y=60t²-t，函数的对称轴t=$\frac{1}{120}$，此时t∈$[\frac{1}{125}，\frac{1}{60}]$，s′（x）＜0，
t∈$[\frac{1}{60}，1]$，s′（x）＞0，s（x）=1-$\frac{12}{{x}^{5}}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$的最大值为：s（1）=$\frac{-21}{2}$或s（5）=$\frac{51}{50}-\frac{12}{3125}$＞0
∴m≥$\frac{51}{50}-\frac{12}{3125}$．

点评 本题考查了函数单调性的性质，训练了函数单调性的证明方法，考查了分离变量法求参数的取值范围，是难题．