2023全国100名校单元测试示范卷高三数学卷23

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2．已知x²+y²+z²=1（x＞0），则2$\sqrt{3}xy+4yz+{z^2}$的最大值是3，取到最大值时的x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，y=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．试题答案

分析 将x²+y²+z²写成（x²+$\frac{1}{3}$y²）+（$\frac{2}{3}$y²+$\frac{2}{3}$z²）+$\frac{1}{3}$z²的形式，再用基本不等式求最值．

解答 解：∵1=x²+y²+z²=x²+（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$）y²+（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）z²
=（x²+$\frac{1}{3}$y²）+（$\frac{2}{3}$y²+$\frac{2}{3}$z²）+$\frac{1}{3}$z²
=$\frac{1}{3}$[（3x²+y²）+（2y²+2z²）+z²]≥$\frac{1}{3}$[2$\sqrt{3}$xy+4yz+z²]，
所以，2$\sqrt{3}$xy+4yz+z²≤3，即2$\sqrt{3}$xy+4yz+z²的最大值为3，
当且仅当：x²=$\frac{1}{3}$y²且$\frac{2}{3}$y²=$\frac{2}{3}$z²且x²+y²+z²=1，
解得x²=$\frac{1}{7}$，y²=$\frac{1}{7}$，z²=$\frac{3}{7}$，
由于x＞0，要使该式取最大值，则y＞0，z＞0，
因此，x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，y=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，z=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
故分别填：3，$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求值问题中的应用，以及取等条件的分析，属于中档题．