2023年全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷十四第十四单元综合测试二

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3．已知直线y=1-x交椭圆mx²+ny²=1于M、N两点，弦MN的中点为P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{m}{n}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．试题答案

分析 利用“点差法”、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式即可得出．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀），
由直线y=1-x可得，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．①
把点M、N的坐标代入椭圆的方程mx²+ny²=1
可得mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1，
两式相减可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，②
①②代入得mx₀+ny₀×（-1）=0，
直线OP的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即为$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{m}{n}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 熟练掌握“点差法”、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．