2023“全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷（十六）”答案

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15．由点P向圆x²+y²=2引两条切线PA，PB，A，B是切点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是（　　）

试题答案

分析 设圆心为O，OP=x，则PA²=x²-2，sin∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{x}$，可得cos∠APB=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，利用向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：设圆心为O，OP=x，则PA²=x²-2，sin∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{x}$，
∴cos∠APB=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x²-2）（1-$\frac{4}{{x}^{2}}$）=（x²+$\frac{8}{{x}^{2}}$）-6≥4$\sqrt{2}$-6，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是4$\sqrt{2}$-6，
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积公式，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．