2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学9单元答案

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20．已知α，β为锐角，cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5}{14}$$\sqrt{3}$，求cosβ的值及β的大小．试题答案

分析 先判断0＜α+β＜π，求得 sinα，cos（α+β）．再由cosβ=cos[（α+β）-α]求解即可，结合0＜β＜$\frac{π}{2}$，求得β 的值．

解答 解：∵α，β为锐角，∴0＜α+β＜π． …（1分）
∵cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5}{14}$$\sqrt{3}$，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α+β）=±$\frac{11}{14}$． …（4分）
当cos（α+β）=$\frac{11}{14}$时，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{7}$-$\frac{11}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$＜0，矛盾，
∴cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$．…（6分）
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα …（8分）
=-$\frac{11}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
又0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴β=$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦、余弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．