2023全国百所名校单元测试示范卷数学必修五卷六 基本不等式与简单线性规划答案

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14．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，则以点$A（2，\frac{3}{2}）$为中点的弦所在直线的方程为（　　）

试题答案

分析 设以点$A（2，\frac{3}{2}）$为中点的弦与椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法能求出结果．

解答 解：设以点$A（2，\frac{3}{2}）$为中点的弦与椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，y₁+y₂=3，
分别把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$
再相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{16}{9}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）+$\frac{16}{3}$（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴点$A（2，\frac{3}{2}）$为中点的弦所在直线方程为y-$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$（x-2），
整理，得：3x+4y-12=0．
故选：C．

点评 本题考查直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．