2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学第三单元文

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9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，若BF⊥BA，则cos2∠BFO=2-$\sqrt{5}$．试题答案

分析 设椭圆的半焦距为c，根据勾股定理和a，b，c的关系，可得a，c的关系，再由二倍角公式，即可得到结论．

解答 解：设椭圆的半焦距为c，
由BF⊥BA，可得AF²=BF²+BA²，
即有（a+c）²=a²+a²+b²，
结合b²=a²-c²，可得c²+ac-a²=0，
即有（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1=0，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
则cos∠BFO=$\frac{c}{a}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故cos2∠BFO=2cos²∠BFO-1=2•（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）²-1=2-$\sqrt{5}$，
故答案为：2-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查三角函数的二倍角公式和勾股定理的运用，属于中档题．