2023年全国100所名校单元测试示范卷数学文科高三五

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7．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=1，则BD的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．试题答案

分析 利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出

解答 解：如图，∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1，
化简得$2{\overrightarrow{AB}}^{2}-|\overrightarrow{AB}|=0$，$|\overrightarrow{AB}|≠0$，所以$|\overrightarrow{AB}|$=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∴$|\overrightarrow{BD}{|}^{2}={\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1+$\frac{1}{4}$-2×$1×\frac{1}{2}×cos60°$=$\frac{3}{4}$，
所以$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及利用数量积求线段的长度；熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．