2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学九第九单元平面向量

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7．定义：在数列{a_n}中，若满足$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=d$，（d为常数），我们称{a_n}为“比等差数列”．已知在“比等差数列”{a_n}中，a₁=a₂=1，a₃=2，则$\frac{{{a_{2014}}}}{{{a_{2011}}}}$的末位数字是（　　）

试题答案

分析 由已知得$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}-\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}-\frac{1}{1}$=1，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1$，由此利用等差数列的通项公式结合$\frac{{{a_{2014}}}}{{{a_{2011}}}}$=$\frac{2014}{2013}×\frac{2013}{2012}×\frac{2012}{2011}$，能求出$\frac{{{a_{2014}}}}{{{a_{2011}}}}$的末位数字．

解答 解：∵在“比等差数列”{a_n}中，a₁=a₂=1，a₃=2，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}-\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}-\frac{1}{1}$=1，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1$，
∴$\frac{{{a_{2014}}}}{{{a_{2011}}}}$=$\frac{2014}{2013}×\frac{2013}{2012}×\frac{2012}{2011}$
=[1+（2013-1）×1]×[1+（2012-1）×1]×[1+（2011-1）×1]
=2013×2012×2011．
∴$\frac{{{a_{2014}}}}{{{a_{2011}}}}$的末位数字是6．
故选：A．

点评 本题考查数列的两项比值的末位数字的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．