2023卷临天下《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学理科·全国人教Y卷 13

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19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2$\sqrt{3}$cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若对任意满足条件的A，不等式f（A）＞m恒成立，求实数m的取值范围．试题答案

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积的公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的增区间．
（2）由条件利用正弦定理求得B的值，可得A的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的范围，再利用函数的恒成立问题求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在△ABC中，根据2acosB=bcosC+ccosB，
由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1∈（0，3]．
∵不等式f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1＞m恒成立，故f（A）的最小值大于m．
而f（A）＞0恒成立，故m≤0．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性；正弦定理，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．