2023卷临天下《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学文科·全国人教N卷（十四）

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13．函数$f（x）=\frac{2}{x}+\frac{1}{1-x}\;（x∈（0，1））$在x=2-$\sqrt{2}$处取到最小值，且最小值是3$+2\sqrt{2}$．试题答案

分析 由0＜x＜1可得1-x＞0，f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=（x+1-x）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$），展开后运用基本不等式，即可求得最小值和对应的x的值．

解答 解：由0＜x＜1可得1-x＞0，
f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=（x+1-x）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）=3+$\frac{2（1-x）}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥3+2$\sqrt{\frac{2（1-x）}{x}•\frac{x}{1-x}}$=3$+2\sqrt{2}$，
当且仅当x=$\sqrt{2}$（1-x），即x=2-$\sqrt{2}$时，取得最小值，
且为3+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2-$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题和易错题．