卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷（九）答案

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8．若x₁满足2010x+2010^x=2，x₂满足2010x+2010log₂₀₁₀（x-1）=2，则x₁+x₂=（　　）

试题答案

分析 由2010x₁+$201{0}^{{x}_{1}}$=2，可得$201{0}^{{x}_{1}}$=2-2010x₁，可得x₁=log₂₀₁₀（2-2010x₁），于是2010x₁=2010log₂₀₁₀（2-2010x₁），令2010x₁=2012-2010t，代入上式可得：2012-2010t=2010+2010log₂₀₁₀（t-1），与2010log₂₀₁₀（x₂-1）=2-2010x₂比较可得：t=x₂．即可得出．

解答 解：由2010x₁+$201{0}^{{x}_{1}}$=2，可得$201{0}^{{x}_{1}}$=2-2010x₁，可得x₁=log₂₀₁₀（2-2010x₁），
∴2010x₁=2010log₂₀₁₀（2-2010x₁），
令2010x₁=2012-2010t，代入上式可得：2012-2010t=2010+2010log₂₀₁₀（t-1），
∴2-2010t=2010log₂₀₁₀（t-1），与2010log₂₀₁₀（x₂-1）=2-2010x₂比较可得：t=x₂．
∴2010x₁=2012-2010x₂，化为x₁+x₂=$\frac{2012}{2010}$=$\frac{1006}{1005}$．
故选：C．

点评 本题考查了指数函数的性质、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．