卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学（三）第三单元指数函数

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14．已知函数f（x）=x+1，g（x）=x²．
（I）若关于x的方程g[f（x）]+2（m-1）x+2m=0的-个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围；
（II）若函数F（x）=ag（x）+2af（x）+1-2a在区间[-3，2]上的最大值为4．求实数a的值．试题答案

分析 （I）化简可得x²+2mx+2m+1=0，从而由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{（1-2m+2m+1）（2m+1）＜0}\\{（1+2m+2m+1）（4+4m+2m+1）＜0}\end{array}\right.$，从而解得；
（II）化简F（x）=a（x+1）²+1-a，从而分类讨论化简求得．

解答 解：（I）∵g[f（x）]+2（m-1）x+2m=0，
∴（x+1）²+2（m-1）x+2m=0，
即x²+2mx+2m+1=0，
∵方程的两根在区间（-1，0）与（1，2）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-2m+2m+1）（2m+1）＜0}\\{（1+2m+2m+1）（4+4m+2m+1）＜0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{5}{6}$＜m＜-$\frac{1}{2}$；
（II）F（x）=ag（x）+2af（x）+1-2a
=ax²+2a（x+1）+1-2a
=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a，
∵x∈[-3，2]，∴（x+1）²∈[0，9]；
当a＜0时，1-a=4，故a=-3，成立；
当a＞0时，9a+1-a=4，
解得，a=$\frac{3}{8}$；
故a=$\frac{3}{8}$或a=-3．

点评 本题考查了二次函数的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用．