卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三文数八

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18．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知$\overrightarrow{m}$=（2sinA，-3），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1+cosA），满足$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，且$\sqrt{7}$（c-b）=a．
（1）求角A的大小；
（2）求cos（C-$\frac{π}{6}$）的值．试题答案

分析 （1）由向量垂直的条件：数量积为0，结合同角的平方关系，解方程可得cosA═-$\frac{1}{2}$，可得A的值；
（2）运用余弦定理，结合条件，可得b=$\frac{\sqrt{7}}{7}$a，c=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$a，再由正弦定理可得sinC，由平方关系可得cosC，再由两角差的余弦公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（2sinA，-3），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1+cosA），
由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sin²A-3-3cosA=0，
即为2cos²A+3cosA+1=0，解得cosA=-$\frac{1}{2}$（-1舍去），
可得A=120°；
（2）$\sqrt{7}$（c-b）=a，可得c=b+$\frac{\sqrt{7}}{7}$a，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos120°=（b-c）²+3bc
=$\frac{1}{7}$a²+3b（b+$\frac{\sqrt{7}}{7}$a），解得b=$\frac{\sqrt{7}}{7}$a，c=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$a，
由正弦定理可得，sinC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$sin120°=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
cosC=$\sqrt{1-\frac{21}{49}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
则cos（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，三角函数的恒等变换，考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．