卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高一数学必修五

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2．已知函数y=（m²-3m+3）x${\;}^{\frac{{m}^{2}}{3}-1}$为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．试题答案

分析 函数y=（m²-3m+3）x${\;}^{\frac{{m}^{2}}{3}-1}$为幂函数，可得m²-3m+3=1，解出即可得出．

解答 解：∵函数y=（m²-3m+3）x${\;}^{\frac{{m}^{2}}{3}-1}$为幂函数，
∴m²-3m+3=1，
解得m=1或2，
∴y=${x}^{-\frac{2}{3}}$，或$y={x}^{\frac{1}{3}}$．
其中：y=${x}^{-\frac{2}{3}}$，在定义域{x|x≠0}上是偶函数，在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
$y={x}^{\frac{1}{3}}$为R是奇函数，在R上单调递增．

点评 本题考查了幂函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．