卷临天下2023届全国一百所名校单元测试示范卷高三数学卷答案

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17．设函数f（x）=-3x+7，g（x）=lg（ax²-4x+a），若?x₁∈R，?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为[0，2]．试题答案

分析 对任意的x，f（x）的值域为R，要使，?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则g（x）的值域也应为R，则ax²-4x+a能取遍所以正数，对a进行分类讨论，得出a的范围．

解答 解：?x₁∈R，
∴f（x）=-3x+7∈R，
?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴g（x）=lg（ax²-4x+a）的值域也应为R，
当a=0时，g（x）=lg（-4x），显然成立，
当a≠0时，
∴ax²-4x+a=0有实根，且a＞0，
∴△=16-4a²≥0，
∴0＜a＜2，
∴a的范围为[0，2]．
故答案为[0，2]．

点评 考查了对数函数值域为R时对x的取值范围的转化问题．