卷临天下2023《全国100所名校单元测试示范卷》高三数学二十四

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2．在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为相应的三条边，若$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，且$\frac{b}{a-b}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$．
（1）求证：A=C；
（2）若|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$|=2，试将$\frac{2}{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}$表示成C的函数f（C），并求f（C）值域．试题答案

分析 （1）由已知及正弦定理化简可得sinB=sin2C，解得B=2C或B+2C=π，利用角C的范围及三角形内角和定理分类讨论即可得证．
（2）由B+2C=π，可得cosB=-cos2C．由$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$，利用平面向量数量积的运算，结合a=c，可得${a^2}=\frac{2}{1+cosB}=\frac{2}{1-cos2C}$，从而可求f（C）=$\frac{2}{{{a^2}cosB}}=1-\frac{1}{cos2C}$，结合C的范围，利用余弦定理的图象和性质即可得解f（C）值域．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由$\frac{b}{a-b}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，及正弦定理有sinB=sin2C，
∴B=2C或B+2C=π．  …（2分）
若B=2C，且$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2}{3}π＜B＜π$，B+C＞π（舍）； …（4分）
∴B+2C=π，所以 A=C，…（5分）
（2）∵B+2C=π，∴cosB=-cos2C．
∵$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$，∴a²+c²+2ac•cosB=4，…（7分）
∴${a^2}=\frac{2}{1+cosB}=\frac{2}{1-cos2C}$（∵a=c），
从而 f（C）=$\frac{2}{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}$=$\frac{2}{{{a^2}cosB}}=1-\frac{1}{cos2C}$…（8分）
∵$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}＜2C＜π$，∴$-1＜cos2C＜-\frac{1}{2}$，
∴2＜f（C）＜3，所以 f（C）值域是（2，3）…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．