卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学十二

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4．用函数单调性的定义证明：函数$f（x）=\frac{x+1}{x-1}$在区间[2，6]上是减函数．试题答案

分析 根据函数单调性的定义：取值、作差、判符号、下结论，即可证明函数f（x）在区间[2，6]上的单调性．

解答 证明：∵f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，
∴任取x₁、x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{2}{{x}_{1}-1}$）-（1+$\frac{2}{{x}_{2}-1}$）
=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$；
∵2≤x₁＜x₂≤6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在区间[2，6]上是减函数．

点评 本题考查了分离常数法化简函数解析式以及根据函数的定义证明一个函数为减函数的应用问题，是基础题目．