卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学九

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9．设函数f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π，设向量$\overrightarrow{a}$=（-1，f（x）），$\overrightarrow{b}$=（f（-x），1），g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）求函数g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．试题答案

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的增区间．
（2）由条件利用两个向量的数量积公式求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
函数f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，故函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-f（-x）+f（x）=-4sin（-2x+$\frac{π}{4}$）+4sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=-4sin（-2x）cos$\frac{π}{4}$-4cos（-2x）sin$\frac{π}{4}$+4sin2xcos$\frac{π}{4}$+4cos2xsin$\frac{π}{4}$
=8sin2xsin$\frac{π}{4}$=4$\sqrt{2}$sin2x，
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，sin2x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，故f（x）∈[4，4$\sqrt{2}$]，
故当2x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值为4，当2x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．