卷临天下2023年高一全国100所名校单元测试示范卷数学必修五

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3．已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R），
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为-3，求a，b的值；
（2）若曲线f（x）存在两条垂直于直线x=-1的切线，求a的取值范围．试题答案

分析 （1）求出原函数的导函数，由函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3得到方程f（0）=0，f′（0）=-3，解方程组求得a，b的值；
（2）把曲线y=f（x）存在两条垂直于x=-1的切线转化为函数f（x）有两个极值点，进一步转化为关于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，然后尤其判别式大于0求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的图象过原点，即为f（0）=0，即有b=0，
又f（x）的导数为f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），
由在原点处的切线的斜率为-3，可得-a（a+2）=-3，
解得a=-3或1，
即有a=-3，b=0或a=1，b=0；
（2）∵曲线f（x）存在两条垂直于直线x=-1的切线，
∴关于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4（1-a）²+12a（a+2）＞0，即4a²+4a+1＞0，
∴a≠-$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查了数学转化思想方法，是中档题．