卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷答案数学必修五

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10．已知f（x）=（a²$-\frac{5}{2}$a+2）a^x是指数函数且在R上单调递增
（1）求f（x）
（2）已知g（x）=pf（2x）-f（x）+p+2在[-2，2]上的值域为[$\frac{11}{4}$，15]，求p值．试题答案

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-\frac{5}{2}a+2=1}\\{a＞1}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）化简g（x）=p（2^x）²-2^x+p+2，从而讨论以确定函数的最值，从而求得．

解答 解：（1）∵f（x）=（a²$-\frac{5}{2}$a+2）a^x是指数函数且在R上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-\frac{5}{2}a+2=1}\\{a＞1}\end{array}\right.$，
解得，a=2；
故f（x）=2^x；
（2）g（x）=pf（2x）-f（x）+p+2
=p（2^x）²-2^x+p+2，
若p≤0，则g（x）≤p+2，
故值域不可能为[$\frac{11}{4}$，15]，
若p＞0，则g（x）的最大值在x=-2或x=2上取得，
若g（-2）=15，则$\frac{1}{16}$p-$\frac{1}{4}$+p+2=15，
解得，p=$\frac{212}{17}$，经检验，不成立；
若g（2）=15，则16p-4+p+2=15，
解得，p=1，经检验成立；
故p=1．

点评 本题考查了指数函数的定义及复合函数的值域与最值的求法，注意分类讨论以确定函数的最值，再检验即可．