卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高二数学卷四

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15．设函数f：N^•→N^•，并且对所有正整数n，有f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，则f（2015）=（　　）

试题答案

分析 可令n=1，可得f（f（1））=3，讨论f（1）=1，2，3，即可判断f（1）=2，f（2）=3，进而求得f（3）=6，f（6）=9，…，f（54）=81，…，得到n与f（n）的关系，总结出一般规律，即可得到f（2015）的值．

解答 解：令n=1可得f（f（1））=3，
f（n）为正整数，若f（1）=1，把f（1）=1带进去，就成了f（1）=3，矛盾．
要是f（1）=2，那就是f（2）=3，可能正确，
要是f（1）=3，那就是f（3）=3，不满足f（n+1）＞f（n）．
所以f（1）=2，所以f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，
f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f（27））=81，…，
即有n∈[1，2]，f（n）∈[2，3]，即f（n）与n一一对应；
n∈[3，6]，f（n）∈[6，9]，即f（n）与n一一对应；
n∈[9，18]，f（n）∈[18，27]，即f（n）与n一一对应；
n∈[27，54]，f（n）∈[54，81]，即f（n）与n一一对应；…；
则得到一般的规律，任意的n为自然数，存在m为自然数，
n∈[3^m，3^m+1]，n=3^m+k，
①n∈[3^m，2•3^m]，0≤k≤3^m，f（n）=f（3^m+k）=2•3^m+k；
②n∈[2•3^m，3^m+1]，3^m≤k≤3^m+1，f（n）=f（3^m+k）=2•3^m+3^m+3（k-3^m）=3k．
2015∈[2•3⁶，3⁷]，2015=3⁶+1286，f（2015）=1286×3=3858．
故选：B．

点评 本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值和找出规律是迅速解题的关键，本题属于难题．