卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学2

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16．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．试题答案

分析 利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，求出圆锥的母线长，进而可得高，即可求出圆锥的体积．

解答 解：∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的底面周长为：2π，即侧面展开图半圆的弧长是2π，半圆的半径就是圆锥的母线：2，
圆锥的高为：$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴圆锥的体积=$\frac{1}{3}π•{1}^{2}•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

点评 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，正确对这两个关系的记忆是解题的关键．