卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷数学周测六

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15．求证：$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$．试题答案

分析 由平方差公式和sin²θ+cos²θ=1，推导出左边=1，再把右式中的1换为（sin²θ+cos²θ）²，推导出右边=1，由此能证明$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$．

解答 证明：$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$
=$\frac{（1-co{s}^{2}θ）（1+co{s}^{2}θ）-si{n}^{2}θ}{（1-si{n}^{2}θ）（1+si{n}^{2}θ）-co{s}^{2}θ}$
=$\frac{si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θco{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ-co{s}^{2}θ}$
=$\frac{si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$=1，
$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$
=$\frac{（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）^{2}-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$
=$\frac{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$=1．
∴$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$．

点评 本题考查三角恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意平方差公式、sin²θ+cos²θ=1，（sin²θ+cos²θ）²=1的合理运用．