卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷数学文科高三

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13．已知椭圆与双曲线有公共的左右焦点F₁，F₂，在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，设椭圆，双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₂-e₁的取值范围是（$\frac{2}{3}$，+∞）．试题答案

分析 设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由条件可得n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a₁=$\frac{m}{2}$+c，a₂=$\frac{m}{2}$-c，（c＜$\frac{m}{2}$），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，
即有n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a₁，
由双曲线的定义可得m-n=2a₂，
即有a₁=$\frac{m}{2}$+c，a₂=$\frac{m}{2}$-c，（c＜$\frac{m}{2}$），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞m，
可得c＞$\frac{m}{4}$，即有$\frac{m}{4}$＜c＜$\frac{m}{2}$．
由离心率公式可得e₂-e₁=$\frac{c}{{a}_{2}}$-$\frac{c}{{a}_{1}}$
=$\frac{c}{\frac{m}{2}-c}$-$\frac{c}{\frac{m}{2}+c}$=$\frac{2{c}^{2}}{\frac{{m}^{2}}{4}-{c}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{{m}^{2}}{4{c}^{2}}-1}$，
由$\frac{m}{4}$＜c＜$\frac{m}{2}$，可得4＜$\frac{{m}^{2}}{{c}^{2}}$＜16，
即有e₂-e₁＞$\frac{2}{16×\frac{1}{4}-1}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：（$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．