卷临天下2023百所名校单元测试示范卷文科高三数学卷七答案

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15．某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下概率密度；
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1000/{x}^{2}}&{x＞1000}\\{0}&{其它}\end{array}\right.$，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？试题答案

分析 由已知得P（X≥1500）=${∫}_{1500}^{+∞}\frac{1000}{{x}^{2}}dx$=$\frac{2}{3}$，任取5只，设其中寿命大于1500小时的个数为X，则X～B（5，$\frac{2}{3}$），由此能求出其中至少有2只寿命大于1500小时的概率．

解答 解：∵某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下概率密度；
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1000/{x}^{2}}&{x＞1000}\\{0}&{其它}\end{array}\right.$，
∴P（X≥1500）=${∫}_{1500}^{+∞}\frac{1000}{{x}^{2}}dx$=（-$\frac{1000}{x}$）${|}_{1500}^{+∞}$=0-（$\frac{1000}{1500}$）=$\frac{2}{3}$，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，
设其中寿命大于1500小时的个数为X，则X～B（5，$\frac{2}{3}$），
∴其中至少有2只寿命大于1500小时的概率：
p=1-P（X=0）-P（X=1）
=1-${C}_{5}^{0}（\frac{1}{3}）^{5}-{C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$
=$\frac{233}{243}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意定积分和二项分布的性质的合理运用．