卷临天下2023高一必修二数学全国100所名校单元测试示范卷·数学卷二

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17．抛物线y²=8x的动弦AB的长为16，求弦AB的中点M到y轴的最短距离．试题答案

分析 准线l：x=-2，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d-2即可求解

解答 解：由题意可得抛物线的准线l：x=-2，

分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H
在直角梯形ABDC中MH=$\frac{AC+BD}{2}$，
由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）
MH=$\frac{AF+BF}{2}$≥$\frac{AB}{2}$=8，
即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为8，
∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为8-2=6

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．