卷临天下2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学鲁科版 参考答案

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13．已知函数f（x）=lg（ax²-4a+1），0＜a＜$\frac{1}{4}$，则关于x的不等式（x-1）f（x）＜0的解集为（　　）

试题答案

分析 ①当x＞1时，f（x）＜0，即ax²-4a+1＜1，所以a（x²-4）＜0，解得，x∈（1，2）；
②当x＜1时，f（x）＞0，即ax²-4a+1＞1，所以a（x²-4）＞0，解得，x∈（-∞，-2）．

解答 解：∵a∈（0，$\frac{1}{4}$），∴4a＜1，∴ax²-4a+1＞0恒成立，
因此，f（x）=lg（ax²-4a+1）的定义域为R，
对于不等式（x-1）f（x）＜0分两类求解，
①当x＞1时，f（x）＜0，即ax²-4a+1＜1，
所以a（x²-4）＜0，解得，x∈（1，2）；
②当x＜1时，f（x）＞0，即ax²-4a+1＞1，
所以a（x²-4）＞0，解得，x∈（-∞，-2），
综合以上讨论得，x∈（-∞，-2）∪（1，2）．
故选：A．

点评 本题主要考查了对数不等式的解法，涉及对数函数的图象和性质，一元二次不等式的解法，属于中档题．