2023届全国100所名校单元测试示范卷 ·数学卷6 第六单元 圆与方程

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6．已知x＞0，y＞0，z＞0，x+y+z=3，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的最小值．试题答案

分析 根据基本不等式：x+y+z≥3$\root{3}{xyz}$-----①；$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$-----②；再两式同向相乘即可．

解答 解：因为x＞0，y＞0，z＞0，根据基本不等式：
x+y+z≥3$\root{3}{xyz}$-----------①
$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$---------②
①②两式同向相乘得，
（x+y+z）•（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）≥（3$\root{3}{xyz}$）•（3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$）=9，
所以，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥$\frac{9}{x+y+z}$=3，
当且仅当：x=y=z=1时，原式取得最小值，
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的最小值为3．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及不等式同向相乘的性质，属于基础题．