卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷高一必修2数学周练卷卷三

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20．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$是定义在上R的奇函数，则b的值为1．试题答案

分析 由奇函数可得f（-x）+f（x）=0，代入整理由多项式系数相等可得ab的方程组，解方程组可得．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$是定义在上R的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即$\frac{{e}^{-x}+a}{{e}^{-x}+b}$+$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$=0，
∴$\frac{1+a{e}^{x}}{1+b{e}^{x}}$+$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$=0，即（1+ae^x）（e^x+b）+（1+be^x）（e^x+a）=0，
整理可得（a+b）（e^x）²+2（ab+1）e^x+a+b=0
∴a+b=0且ab+1=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$时，函数的解析式为f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$，定义域为{x|x≠0}，不合题意．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的奇偶性，涉及方程组的解法，属基础题．