卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷三

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8．已知双曲线3x²-y²=3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求弦AB的长．试题答案

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，两式相减，利用P恰为AB中点，得直线的斜率为6，从而可求直线AB的方程；
（2）利用弦长公式求弦AB的长．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（2，1），
则3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
两式相减得6（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，从而直线的斜率为6，
故所求直线方程为6x-y-11=0；
（2）6x-y-11=0与双曲线3x²-y²=3联立，消去y，可得33x²-132x+124=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{124}{33}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+36}$•$\sqrt{16-4×\frac{124}{33}}$=$\frac{4\sqrt{2442}}{33}$．

点评 本题主要考查中点弦问题，设而不求是常用方法，应注意细细体会．