高一数学2023届全国100所名校单元测试示范卷

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6．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）•cos（$\frac{π}{3}$-x），g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$．
（1）化简f（x）；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．试题答案

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$；
（2）由周期公式可得；
（3）可得h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），易得函数的最大值和x的集合．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x=$\frac{1}{4}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{3}{4}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（3）h（x）=f（x）-g（x）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$-（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴h（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时x满足2x+$\frac{π}{4}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{8}$，
故此时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性，属基础题．

13.(1)这个人机敏有学识，应当委以重任。每次替我的儿子陈述事情，即使远在千里之外也好像是面对面说话一样。(.若，.机识，委任，各1分，句意1分)(2)居宰相之位达十五年之久，自认为权力恩宠到达极点，多次上表请求辞职，诏书不准。(.积，隆极，累各1分，句意1分)

实价值和潜在价值”并结合所学知识可知,从它丰富了英语文化,反映了中西文化的交流融合;体现了世界文明发展的开放性、包容性、多样性;推动了全球化的发展等方面分析概括,言之成理即可得分。(3)影响因素:根据上述材料并结合所学知识可知,彤响中国古代人口数量变化的因素是多种多样的,可从自然环境变化、经济发展(农业、手工业、商业)、战争与自然灾害、统治者政策(政治、赋税等)彤响、思想观念影响、人口统计手段方法、基层社会管理程度等方面概括。