2023届全国100所名校模拟示范卷数学金太阳七

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17．若关于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$）有两个相等的实数根．
（1）求实数a的取值范围．
（2）当a=$\frac{7}{4}$时，求sin（$\frac{π}{4}$+θ）的值．试题答案

分析 （1）由根的判别式得16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，从而a=4sinθcosθ=2sin2θ，由此能求出实数a的取值范围．
（2）a=$\frac{7}{4}$时，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，由正弦加法公式及同角三角函数关系式能求出sin（$\frac{π}{4}+θ$）．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$）有两个相等的实数根，
∴△=16sin²θ-4atanθ=0，
∴16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，∴a=4sinθcosθ=2sin2θ，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2θ＜\frac{2π}{3}$，
∴1＜2sin2θ＜2．
∴实数a的取值范围是（1，2）．
（2）a=$\frac{7}{4}$时，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，
sin（$\frac{π}{4}+θ$）=sin$\frac{π}{4}$cosθ+cos$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinθ+cosθ）$，
∴$si{n}^{2}（\frac{π}{4}+θ）=\frac{1}{2}（1+2sinθ）$=$\frac{1}{2}×（1+\frac{7}{8}）$=$\frac{15}{16}$，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}＜\frac{π}{4}+θ＜\frac{7π}{12}$，
∴sin（$\frac{π}{4}+θ$）=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查正弦函数值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式、正弦加法公式及同角三角函数关系式的合理运用．

22.【写作提示】本题考查写作能力。(一)材料解读本作文由材料、写作任务、写作要求三部分组成。材料是三则关于“沉默”的名言，因此考生应围绕“沉默”来立意。第①句爱德蒙·伯克的名言和第②句鲁迅的名言都论述了保持沉默的危害性，我们在面对不公平对待时，或者在面对社会的黑暗面时，我们不能1一文，参老答客第3页（共4页）】·22-05-502B

(2)根据材料三可知,13-18世纪“世界时间大挪移”,表现在逐渐向西方转移,最后世界时间的钟摆彻底离开了中国。结合所学知识,从新航路开辟、殖民扩张、工业革命等方面分析西欧发展的原因;从中