卷临天下数学2023届全国100所名校单元测试示范卷

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5．已知点P是椭圆16x²+25y²=400上一点，且在x轴上方，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₂的斜率为$-2\sqrt{2}$，则△PF₁F₂的面积为8$\sqrt{2}$．试题答案

分析 求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，由直线PF₂的方程：y=-2$\sqrt{2}$（x-3），代入椭圆方程，求得P的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．

解答 解：椭圆16x²+25y²=400即为
$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，即有a=5，b=4，c=3，
右焦点F₂（3，0），
由P在x轴上方，且直线PF₂的斜率为$-2\sqrt{2}$，
可得P的横坐标小于3，
由直线PF₂的方程：y=-2$\sqrt{2}$（x-3），
代入椭圆方程可得，27x²-150x+175=0，
解得x=$\frac{5}{3}$（$\frac{35}{9}$＞3，舍去），
即有P的纵坐标为y=-2$\sqrt{2}$（$\frac{5}{3}$-3）=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
则则△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•y_P=3•$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=8$\sqrt{2}$．
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．

22.【审题指导】题目紧扣时代脉搏，弘扬主旋律。材料一选取了院士彭士禄的奋斗实例；材料二展现了当代年轻人的奋斗精神。两则材料既立足真实事例，又强调开启新时代奋斗征程。