2023届全国100所名校单元测试高一数学示范卷答案

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3．若非零向量$\vec a$与向量$\vec b$的夹角为钝角，$|{\vec b}|=2$，且当$t=-\frac{1}{2}$时，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\sqrt{3}$．向量$\vec c$满足$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$，则当$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值时，$|{\vec c-\vec b}|$等于（　　）

试题答案

分析 作出示意图，寻找$|{\vec b-t\vec a}|$在何时取得最小值，计算出向量$\vec a$与向量$\vec b$的夹角及|$\overrightarrow{a}$|，由$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$可知$\vec c$的终点在一个圆周上，结合图象，找出当$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值时C的位置，进行几何计算即可求出．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{MC}$，如图：
∵向量$\vec a$，$\vec b$的夹角为钝角，
∴当$\vec a$与$\vec b-t\vec a$垂直时，$|{\vec b-t\vec a}|$取最小值$\sqrt{3}$，即$\vec a⊥（{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}）$．
过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=$\sqrt{3}$，
∵|$\overrightarrow{b}$|=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即$\vec a$与$\vec b$夹角为120°．
∵$\vec a⊥（{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}）$，∴$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$）=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120°+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，即MA=2，
∵$（{\vec c-\vec a}）⊥（{\vec c-\vec b}）$，∴$\vec c$的终点C在以AB为直径的圆O上，
∵O是AB中点，∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{MO}$，
∴当M，O，C三点共线时，$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值，
∵AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴OB=0C=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，
∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，
∴∠BOC=∠MOA=90°，
∴|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目作出符合条件的图形是关键．

尾联写朋友这一去是到京师为官,有祝福、羡慕朋友能得人赏识、施展才华实现抱负的情感。结合诗人自己的处境遭遇,此时他在夔州,正是年迈落魄之极,与朋友相较,不免有自己无法重得起用,暮年体弱的酸楚之情。 地崩山摧壮士死相钩连 注意容易写错的字:“鸠”“兮”“葚”“太”“哀”“栈”“钩”。